Năm 1742, nhà toán học Đức Christian Goldbach viết thư cho Euler biết rằng ông mạo hiểm đưa ra bài toán: Mọi số tự nhiên lớn hơn 5 {\displaystyle 5} đều biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Euler trả lời rằng theo ông, mọi số chẵn lớn hơn 2 {\displaystyle 2} đều biểu diễn được dưới dạng tổng của 2 số nguyên tố.Nếu chứng minh được một trong hai mệnh đề thì sẽ chứng minh được mệnh đề còn lại. 200 năm sau, đến năm 1937, nhà toán học Liên Xô Vinogradov đã giải quyết gần trọn vẹn bài toán đó bằng cách chứng minh rằng mọi số lẻ đủ lớn đều có thể biểu diễn được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố.

Cho đến nay, Giả thuyết Goldbach-Euler vẫn chưa giải được hoàn toàn.

Ta xét bài toán: Nếu mệnh đề của Euler là đúng, hãy chứng minh mệnh đề Goldbach. Lời giải cho bài toán trên như sau:

Giải: Cho số tự nhiên n > 5 {\displaystyle n>5} , ta sẽ chứng minh rằng n {\displaystyle n} viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố. Xét:

1. Trường hợp 1: Nếu n {\displaystyle n} chẵn thì n = 2 + m {\displaystyle n=2+m} với m {\displaystyle m} chẵn và lớn hơn 3 {\displaystyle 3} . vì số chẵn lớn hơn 2 {\displaystyle 2} kế tiếp là 4 {\displaystyle 4} nên dù là m > 3 {\displaystyle m>3} thì m {\displaystyle m} vẫn viết được dưới dạng tổng 2 số nguyên tố.
2. Trường hợp 2: nếu n {\displaystyle n} lẻ thì n = 3 + m {\displaystyle n=3+m} với m {\displaystyle m} chẵn và lớn hơn 2 {\displaystyle 2} . Theo mệnh đề Euler, do m {\displaystyle m} chẵn và lớn hơn 2 {\displaystyle 2} nên m {\displaystyle m} có thể viết được dưới dạng tổng hai số nguyên tố. Do đó n {\displaystyle n} viết được dưới dạng tổng của 3 số nguyên tố.